[הסבר] מתמטיקה - פונקציות מדריך למתחיל
פונקציות - המדריך למתחיל
אז בואו נלמד לאט לאט אודות הפונקציה והאפשרויות שלנו לשחק בה.
פונקציה בעצם זו תבנית שבה אנחנו מכניסים ערך מסוים, ויוצא לנו ערך אחר.
פונקציה היא התאמה בין 2 קבוצות, המתאימה בין כל איבר בקבוצה א' לאיבר בקבוצה ב'
לדוגמא:
Y=5X
אם נכניס לפונקציה במקום איקס את המספר 1, יצא לנו ש Y=5.
כלומר במערכת הצירים הפונקציה תהיה בנקודה X=1, Y=5.
עכשיו שואלים אותך באיזו נקודה הפונקציה חותכת את ציר הX.
ציר איקס זה בעצם Y=0 (למה? כי אם הנקודה שלנו תהיה X=1, Y=0 אתה תראה שהנקודה נמצאת על ציר הX, ואין לה "גובה" למעלה או למטה)
אותו דבר לגבי ציר הY. בציר הY הX שווה 0 כי הנקודה היא בדיוק באמצע מערכת הצירים, ואין לה "נטייה" ימינה או שמאלה).
אחרי שהבנו את זה נחשוב מה נעשה אם יבקשו מאיתנו למצוא באיזו נקודה הפונקציה חותכת את ציר הX.
כשאומרים "חתיכה בציר הX" אתה ישר יודע שY=0.
אז יש לך שתי נוסחאות:
Y=0
Y=5X
נשווה את 0 ל5X ונראה שאיקס גם שווה אפס.
מכאן אנחנו יכולים להסיק שיש נקודה שחותכת את ציר הX בנקודה (0,0).
נעבור לפונקציה מורכבת יותר - פרבולה.
אתה יודע מהיא פרבולה. המבנה שלה הוא כזה:
ƒ(x)=ax^2+bx+c
עכשיו אני אתן סתם פונקציה ונחקור אותה קצת:
y=x^2+3x-4
אנחנו רוצים לדעת באיזה נקודות הפונקציה חותכת את ציר הX.
דבר ראשון שאנחנו יכולים לעשות זה להגיד שY=0
ואז יש לנו שתי משוואות:
Y=0
Y=x^2+3x-4
ולכן נשווה בין 0 לפונקציה ונקבל את זה:
x^2+3x-4=0
מה עושים מפה? נוסחאת שורשים.. פשוט לא? לא!
מה ז"א נוסחאת שורשים? מזה? מזה עוזר לי?
מה הקשר בין הנוסחא לפתרון?!
אז ככה, לאט לאט... בוא נראה מה יש לנו.
יש לנו ביטוי שהוא שווה לאפס.
למעשה אנחנו רוצים לדעת מתי כל הביטוי שמשמאל (איקס בריבוע...) שווה אפס.
נעשה ניסוי וטעיה ונסיק מסקנות:
נציב במקום X את המספר 1:
1^2+3*1-4
1+3-4=0
והנה מצאנו שאם איקס שווה אחד אז Y שווה ל0
האם יש עוד פתרונות? נחפש.
נציב במקום X את המספר 2:
2^2+3*2-4
4+6-4=6
גדול מאפס
X=3
3^2+3*3-4
9+9-4=14
גדול מאפס ורק גדול יותר ממה שהצבנו קודם, לכן נחפש אולי במינוס נמצא מספר
x=-2
-2^2+3*(-2)-4
4-6-4=-6
קטן מאפס
x=-3
-3^2+3*(-3)-4
9-9-4=-4
קטן מאפס אבל אנחנו מתקרבים
x=-4
-4^2+3*(-4)-4
16-12-4=0
בינגו! מצאנו עוד נקודה
אז מה, עכשיו אנחנו נעשה ניסוי וטעייה על כל מספר? ובכלל, בין 1 ל2 יש אינסוף מספרים, איך נבדוק אינסוף אפשרויות?
בשביל זה נולדו גאוני מתמטיקה שממציאים עבורינו נוסחאות שיקלו עלינו את העבודה.
נוסחאת שורשים היא בדיוק המקרה הזה.
אנחנו נותנים לה פונקציה ששווה לאפס, והיא נותנת לנו שתי פתרונות אפשריים.
ננתח רגע את הנוסחא ונראה מה היא רוצה מאיתנו ואיך ננצל אותה ביעילות.
-b+-Delta
דלתא בשבילנו היא הדבר החשוב בנוסחא, ולמה:
אם הדלתא תהיה שווה אפס, זה אומר שלא משנה אם נחסיר אותה מb או נוסיף אותה לb כי אנחנו בסופו של דבר נקבל את אותה התשובה
b+0=b-0
ולכן במקרה כזה יש רק מקרה אחד שבו הפונקציה חותכת את ציר הX, ואם מדובר בפרבולה אז זה אומר שנקודת הקיצון יושבת על ציר הX.
ניקח מקרה שבו תצא לנו דלתא שלילית. במקרה כזה אין פתרון כיוון שאין שורש שלילי, ולמה?
ניקח את הפונקציה הבאה:
Y=x^2+9
נמצא את הנקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר הX ונראה ש
Y=0
Y=x^2+9
x^2+9=0
נראה מה תצא לנו הדלתא:
a=1
b=0
c=9
a=1 ברור למה, לא?
b=0 כי הוא מאפס את הביטוי bx (כי אין לנו מספר כלשהו כפול איקס)
c=9 וזה ברור למה
בקיצור אנחנו אומרים דבר כזה:
b^2-4*a*c
0-4*1*9
-36
ולמינוס אין שורש. אז לפי הנוסחא אין איקס שאם נציב אותו בפונקציה נקבל 0.
בוא נראה איך זה נראה מהצד של הפונקציה:
x^2+9=0
x^2=-9
מכאן אפשר להפסיק. למה? כי כל מספר שלא נבחר - חיובי או שלילי, אם נעלה אותו בריבוע נקבל מספר חיובי. ולכן הביטוי איקס בריבוע בחיים לא יהיה מספר שלילי, ולכן שום איקס שיתן לנו מצב בו הY=0, ולכן אם אין מצב כזה, הפונקציה פשוט לא חותכת את ציר הX, או את הישר Y=0.
קרדיט לאתר אחר
תודה למשתמש RAN שהרחיב את נושא הפונקציות
מבוא קצר ובסיסי מאוד לפונקציות ומערכת הצירים לבית הספר היסודי והתיכון
טוב אני אנסה לעזור לך פה,
מהי קבוצה? קבוצה היא אוסף של איברים.
קבוצת המספרים הטבעיים 1, 2, 3... מסומנת באות N
קבוצת המספרים השלמים (ואפס) מסומנת באות Z
קבוצת המספרים הרציונאליים מסומנת באות Q
קבוצת המספרים הממשיים (קבוצת המספרים הרציונאליים והאי-רציונאליים) מסומנת באות R
מספר רציונאליי הוא מספר שניתן לבטא אותו כחלוקה של 2 מספרים שלמים (המכנה שונה מאפס) למשל את פאי אי אפשר לבטא כחלוקה של 2 מספרים
ולעומת זאת את המספר 0.25 כן אפשר ( 4\1)
אז: דבר ראשון, ציר המספרים: מה זה ציר? ניתן לחשוב על ציר מספרים כעל קו אינסופי שעליו מספרים בסדר כרונולוגי עולה משמאל לימין
במילים אחרות, קחו קו אינסופי, תקעו את הספרה אפס איפשהו, משמאל נמצאים המספרים השליליים ומימין המספרים החיוביים:
... 5__4__3__2__1__0__-1__-2__-3__-4__-5...
אחלה, יש לנו ציר, עכשיו, למה שלא נרחיב את העולם שלנו ונוסיף עוד ציר?
זה מה שעשו וקיבלנו את הדבר הבא: (בתיכון ובבית הספר הזווית בין הצירים היא תמיד 90 מעלות) הציר שעולה למעלה נקרא ציר ה Y (הציר האנכי)
והציר האחר הוא ציר ה X (הציר האופקי)
ועכשיו אפשר לדבר על פונקציות, אז שוב, מהי פונקציה?
פונקציה היא התאמה בין 2 קבוצות, המתאימה כל איבר בקבוצה א' לאיבר בקבוצה ב' (כן, זאת ההגדרה שרשומה בויקיפדיה, אבל זאת גם ההגדרה המדויקת).
נהוג לסמן פונקציות באות f ואם האות f כבר בשימוש אז יש את g ו h.
דוגמא לפונקציה: (אפשר היה לכתוב את הכל בצורה יותר פורמלית מבחינה מתמטית אבל לצורך ההבנה אני אמנע מזה)
f(x) = x + 3 היא פונקציה המוגדרת על מספרים ממשיים
הפונקציה מתאימה לכל איבר ממשי X איבר ממשי אחר Y המתאים לו
f(x) = x+3 = y האיבר x נקרא ארגומנט הפונקציה (מה שהפונקציה מקבלת).
סבבה, אז יש לנו פונקציה ומערכת צירים, מה עכשיו? עכשיו מציירים (או יותר נכון משרטטים).
תעלו קצת למעלה ותסתכלו על מערכת הצירים שלנו נבחר X כלשהו, למשל 2 ונתאים לו את ה Y שלו, איך עושים את זה?
f(2) = x+3 = (2) + 3 = 5 = y
אז הפונקציה מחזירה את הערך 5 אם היא מקבלת את הערך 2
איך זה מתקשר למערכת הצירים? מסתכלים על ציר ה X ובוחרים את הנקודה 2, מסתכלים על ציר ה Y ובוחרים את הנקודה 5
מהנקודה 2 על ציר ה X עולים 5 יחידות אורך למעלה ומגיעים לנקודה
(2,5) הפוקנציה שלנו עוברת דרך הנקודה הזאת:
תרגיל בשביל אלה שקראו את כל זה:
תבחרו עוד 2-3 נקודות ותציבו אותם בפונקציה כמו שהראיתי, תסמנו את הנקודות על הגרף ותחברו את כל הנקודות.
אם מערכת הצירים שלכן סימטרית והמרחקים בין כל מספר שלם למספר שלם שווים אתם אמורים לקבל קו ישר, אם כן, אחלה, זה הגרף של הפונקציה.
ציטוט ההודעה
נכתב במקור על ידי חRa
