אז איך בעצם הגיעו לפאי?
דבר ראשון, אני לא באמת יודע אם באמת ככה הגיעו לפאי XD
דבר שני, כל התהליך פה זה לא משהו שאני מעתיק ממקור כלשהו, זה דברים שחשבתי עליהם לבד, כל פעם שאני מנסה "לגלות" את פאי אני מגיע לנוסחא אחרת, יש לי כבר 4 נוסחאות שונות לפחות
אז ככה, קצת היסטוריה.
שימו לב, פאי זה לא 3.14 ולא שום מספר אלגברי אחר, פאי הוא היחס שבין היקף המעגל לקוטר שלו.
במהלך ההיסטוריה בני אדם שמו לב כי בכל מעגל יש יחס מסויים בין הרדיוס\ הקוטר להיקף המעגל.
כמובן שאז לא גילו עדיין את הכלים המתמטים שמשתמשים בהם היום (כמו החשבון האינפיניטיסימלי, שבו נשתמש בשביל ההוכחה) אז מה שעשו זה ככה: לקחו חוטו עשו איתו מעגל, ואז בדקו כמה פעמים חוט אחר, שהוא הקוטר של המעגל נכנס בהיקף שלו.
לפי השיטה הזאת הם שמו לב שזה "3 וקצת" יש כאילו שאפילו הגיעו ל3 ושביעית שזה די קרוב, אבל לא הליחו להגיע למשהו של אפילו 5 ספרות דיוק. (אי אפשר למדוד משהו ככ קטן עם סרגל)
אנחנו היום ניצור נוסחא, שתחשב לנו את פאי בכל דיוק שנדרוש ממנה!
נקרא ליחס שבין ההיקף לקוטר X
אז אנחנו יודעים שיש יחס קבוע כזה, אנחנו לא יודעים מהו.
נקרא להיקף של המעגל P
p/2r=x
כלומר , ההיקף חלקי הקוטר זה היחס שאנחנו מחפשים.
נחשב את ההיקף: ההיקף הוא 2*פאי* רדיוס! (רגע, אבל אנחנו לא יודעים מה זה פאי!)
עכשיו אנחנו בבעיה, אנחנו לא יודעים לחשב את ההיקף של המעגל כי אסור לנו להשתמש ביחס שאנחנו לא מכירים.
לכן, נחשב "בערך" את ההיקף של המעגל על ידי השיטה הבאה:
ניקח את מעגל היחידה (רדיוס שלו שווה 1)
ולכן בשביל למצוא את פאי צריך לחשב את X במשוואה
p/2=x
נחשב את ההיקף "בערך" בצורה הבאה:
נחלק את המעגל ל6 משולשים שווים, סביב מרכז המעגל יש זווית של 360 מעלות, נחלק ב6 ונקבל שאלפא היא 60.
כעת נשתמש במשפט הקוסינוסים בכדי למצוא את הצלע שמול הזווית 60:
c^2=1+1-2*cos60
c=1
נחבר את הצלע הזאת לפי מספר המשולשים בכדי לקבל את ההיקף בערך : 6*1=6
עכשיו יש לנו היקף ויש לנו רדיוס, נציב בנוסחא כדי למצוא את היחס:
p/2=x
6/2=x=3
אם כן, הגענו שהיחס הוא 3!
רגע, אבל פאי הוא בכלל 3.1415 וכוכוכוכו
זה בגלל שלא דייקנו בהיקף המעגל, בכדי לקבל דיוק טוב יותר, נפעל בדרך הבאה:
ניצור נוסחא כללית לפי מספר משולשים כך שN הוא מספר המשולשים, ובדומה לקודם, הזווית בכל משולש היא 360 חלקי N.
בכדי למצוא את הצלע שממול הזווית נשתמש במשפט הקוסינוסים:
C^2=1+1-2cos(360/n) blabla
c=sqrt(2-2cos(360/n)) bla
סליחה על הבלה בלה, רק ככה הוא סוגר סוגריים.
SQRT זה שורש.
אם ככה, מצאנו את גודל הצלע בכל משולש, נכפיל את הצלע הזאת במספר המשולשים ונגיע להיקף המעגל:
p=n*sqrt(2-2cos(360/n)) bla
במעגל שהבאתי בציור, עוד אפשר להבחין ברווחים בין המשולשים, תארו לעצמם מה היה קורה אם היינו מחלקים את המעגל ל1,000,000 משולשים, הקירוב של ההיקף היה קרוב מאוד מאוד מאוד.
כעת נמצא את x:
p/2=x
x=(n/2)*(sqrt(2-2cos(360/n))) bla
נציב n=60,000 בנוסחא שלנו ונקבל:
x=3.142133.וקיבלנו 3.14 , קירוב טוב יותר מי שיש לו בבית מחשבון רציני שיכול להכיל גם למעלה מ20 ספרות דיוק, יוכל להציב מספרים גבוהים יותר ולקבל קירובים טובים יותר.
הערך המדוייק של פאי זה מה שקורה כשמשאיפים את הסדרה הזו לאינסוף. זאת אומרת, ככל שתציב מספר שיותר קרוב לאינסוף, תגיע יותר קרוב לפאי. לפאי עצמו לא תגיע אף פעם
(אגב, פאי הוא מספר לא רציונלי ואפילו לא אלגברי, אין אף אחד שיכול להגיד מה זה בידיוק פאי כי פאי הוא אינסוף ספרות אחרי הנקודה.)
**קרדיט לסר אייזיק ניוטון וגוטפריד וילהלם לייבניץ על החשבון האינפיניטיסימלי.
ציטוט ההודעה
נכתב במקור על ידי Daniel
