אסייג גדל בטירת כרמל, בן למשפחה מרובת ילדים ממוצא מרוקאי. ב-1993, שנתיים לאחר שסיים את שירותו הצבאי, פרץ לתודעת הקהל כאשר הופיע בפינת הסטנד-אפ בתוכנית הבידור "סופשבוע" בהגשת דודו טופז ששודרה בערוץ 1. מעט לאחר מכן קיבל פינה קומית קבועה בתוכנית "מרגול" בהגשת מרגלית צנעני, אשר שודרה בערוץ 2 שהחל בשידוריו באותה שנה ושם זכה אסייג לחשיפה משמעותית.
ב-1995 החל אסייג להופיע בקאמל קומדי קלאב. בשנה זו החל להופיע במופעי סטנד-אפ ברחבי ישראל. מופעו שם דגש על סיטואציות האופייניות לישראלים, על "ערסים" ועל יחסים בין גברים ונשים. בהמשך השתתף בתוכנית "קיץ על החוף" בערוץ 2. ב-1997 זכה אסייג בפרס "נוצת הזהב" של אקו"ם על המופע "אסייג לחוכמה שתיקה" והפך לסטנדאפיסט הראשון והיחיד שזכה בפרס זה. באותה שנה הופיע בתפקיד דרמטי בסרט הטלוויזיה "חתולות הרעם" והחל להגיש פינה קומית בתוכנית האקטואליה "על השולחן", אותה הנחה דן מרגלית בערוץ 2. בשנת 2000 הנחה את השעשועון "לו לה לה" בערוץ 3 בכבלים. השתתף בקליפ לשיר "ב.מ.וו. שחורה" של להקת אתניקס.
ב-2002 החל לדבב עבור חברת בזק בינלאומי את התוכי הירוק, המופיע בפרסומות החברה, וכן הוציא לשוק DVD אשר מכיל קטעים נבחרים ממופע הסטנד-אפ שלו והשתתף בסדרת הדרמה "המשאית" אשר שודרה בערוץ 2. ב-2004 הנחה לצד קובי מידן את ספיישל "המבחן של ישראל" ובאותה שנה העלה את המופע "שלום אסייג וחברים". במופע השתתפו: מה קשור, שלישיית פרוזאק, שחר חסון הידוע בשם MCמנצור ורועי לוי.
בשנים 2005-2006 הגיש פינת אקטואליה הומוריסטית בתוכניתו של יאיר לפיד, וב-2006 הצטרף לצוות הפאנל הקבוע של תוכנית הבידור "מועדון לילה". ב-2007 הנחה לצד טל ברמן את התוכנית "כישרון או כישלון" בערוץ 2. באותה שנה עלתה הצגת בידור ראשונה בבימויו של אסייג: "הצ'ט ועונשו", בכיכובו של יגאל עדיקא. בהמשך השתתף בסרטים "ברונו מאוהב" ו"רחמים".
החל משנת 2008 אסייג מנחה את תוכנית הבידור "צחוק מעבודה", עבור זכיינית השידור רשת בערוץ 2.
בשנת 2009 אסייג הופיע בקיסריה ובכך הפך לסטנדאפיסט הראשון שמופיע שם.
בשנת 2011 היה שותף בהפקת התוכנית הקומית "הפרויקט הירוק" בערוץ הוט קומדי סנטרל.